GIOCARE ALLA GEOMETRIA CON IL TANGRAM:

GIOCARE ALLA GEOMETRIA CON IL TANGRAM

 

Il tangram è un antichissimo gioco cinese.

L’origine di questo puzzle è sconosciuta nella storia, ma ancor oggi esso continua a divertire ed a incuriosire anche per le sue applicazioni nella geometria.

E’un puzzle classico che si rifà al vechio e al nuovo, alla serietà ed alla spensieratezza.

Tradizionalmente, il gioco è costituito da sette figure geometriche che formano un quadrato, ma ci sono anche altre variazioni con diversi numeri e tipi di pezzi.

 

      

Il Tangram tradizionale è costituito da un quadrato scomposto in sette parti (tan), tali che gli angoli dalle stesse abbiano ampiezze multiple di 45° (la metà di un angolo retto).
 

 

 

 

Ciò permette di realizzarlo con facilità tracciando delle linee e dei tagli su di un foglio a quadretti.

Le figure geometriche che formano il tangram sono 7:

 

• 5 triangoli di tre dimensioni diverse: 2 grandi di uguale misura, 1 medio, 2 piccoli di ugual misura;1 quadrato; 1 parallelogramma.

•  

 

 

 

COME SI GIOCA?

Il gioco consiste nel riprodurre delle figure in cui non siano evidenziate le disposizioni dei singoli pezzi (cioè non devono rimanere spazi tra le diverse figure), con la sola regola di utilizzare tutti e sette i tan senza mai sovrapporli.
Le infinite possibilità di combinazione dei tan permettono di creare forme geometriche diverse e immagini stilizzate di persone, animali, oggetti e altre creazioni della fantasia.

 

Ecco alcuni esempi:

il gatto	la barca	il cinesino	l’uccello	la cinesina

 

 

 

 

 

    

CHE COS’E’ LA GEOMETRIA? UN Pò DI STORIA

La geometria (La Géométrie) fu pubblicata da René Descartes nel 1637 come una delle tre appendici al Discorso sul metodo. Le altre due erano La Diottrica (La dioptrique) e Le Meteore (Les Météores). Descartes non ha mai chiarito se i tre saggi (appendici) fossero esempi di applicazione del metodo oppure se il metodo fosse una introduzione ad essi.

L’opera in particolare discusse la rappresentazione di un punto di un piano mediante una coppia di numeri reali e la rappresentazione di curva per mezzo di un’equazione. In tal modo i problemi geometrici possono venire tradotti in problemi algebrici e risolti con le regole dell’algebra. In effetti La Géométrie ebbe grande influenza sullo sviluppo del sistema di coordinate cartesiane.

Spesso “La Géométrie” viene vista unicamente come applicazione dell’algebra alla geometria, ma lo scopo del suo metodo era duplice: da un lato, di liberare la geometria dal ricorso alle figure, di evitare la dipendenza dalle differenze inessenziali tra figura e figura per raggiungere risultati di più ampia generalità; dall’altro di dare un significato alle operazioni algebriche per mezzo di un’interpretazione geometrica.

Il saggio si presenta con una struttura non unitaria e poco omogenea, ma il suo contenuto, nel suo insieme, sia per le soluzioni proposte che per il linguaggio adottato, è di certo il più avanzato e moderno della prima metà del 1600. Il formalismo algebrico utilizzato è molto simile a quello odierno; in particolare si ha l’uso cartesiano delle prime lettere dell’alfabeto per indicare i parametri e delle ultime per indicare le incognite. Tuttavia, mentre noi concepiamo i parametri e le incognite come numeri, Descartes dava loro un’interpretazione in termini di segmenti.

La Géométrie è divisa in tre libri:

I. I problemi che si possono costruire solo con cerchi e linee rette

II. Sulla natura delle linee curve

III. La costruzione dei problemi solidi o più che solidi.

Nel I libro, Descartes, dopo aver posto le basi del metodo delle coordinate e aver dato un’interpretazione delle operazioni algebriche in termini di segmenti, fornisce dettagliate istruzioni sul modo di risolvere equazioni di secondo grado per via geometrica, dando una interpretazione in tal senso anche per la loro soluzione. Enuncia il problema di Pappo che nessuno nell’antichità era stato in grado di risolvere compiutamente e ne inizia la soluzione.

Il II libro è forse quello che contiene i risultati più importanti e più vicini alla concezione moderna della geometria analitica. Descartes espone la scoperta che le equazioni indeterminate in due incognite corrispondono a luoghi geometrici. Distingue con cura le “curve geometriche”, che possono essere rappresentate da equazioni algebriche, come le coniche, la cissoide e la concoide, dalle “curve meccaniche”, come la spirale e la quadratrice che non possono rappresentarsi con tale tipo di equazioni e che oggi sono dette trascendenti. Trova la soluzione al problema di Pappo con 4 rette arrivando a scrivere l’equazione generale di una conica passante per l’origine e specificando le condizioni cui devono soddisfare i coefficienti affinché la conica sia una retta, una parabola, un’ellisse o un’iperbole; inoltre analizza il caso più semplice del problema di Pappo con 5 rette.
Fra i risultati più importanti ottenuti da Descartes e contenuti nel II libro dell’opera, merita una particolare menzione la determinazione generale della normale ad una qualsiasi curva algebrica piana in un suo generico punto e la conseguente determinazione della tangente. Per trovare la normale ad una curva algebrica in un determinato punto P di una curva algebrica, Descartes dice di prendere un punto variabile P’ sulla curva stessa e di determinare l’equazione della circonferenza avente per centro la coordinata sull’asse delle ascisse del punto e passante per i punti P e P’. Ora, annullando il discriminante dell’equazione che determina l’intersezione della circonferenza con la curva, si trova il centro della circonferenza per il quale P’ coincide con P. Trovato il centro, si trovano poi agevolmente la normale e la tangente alla curva nel punto considerato. Il II libro potrebbe concludersi con questa trattazione che mostra il procedimento generale di Descartes per la costruzione di tutti i problemi: intersezione di una circonferenza e una retta per i problemi piani, di una circonferenza e una parabola per i problemi che nel suo linguaggio sono detti solidi, di una circonferenza e di una curva di grado maggiore e così di seguito. L’autore invece, in omaggio all’orientamento preminentemente utilitaristico e tecnico del suo sapere, preferisce concludere il libro con la trattazione sugli ovali, ossia sulle forme che devono assumere i corpi trasparenti per essere utili al miglioramento della vista.

Il III libro tratta della soluzione delle equazioni di grado superiore al secondo mediante intersezioni di curve. Descartes, partendo dal presupposto che bisogna sapere se l’equazione sia riducibile o meno, insegna come passare da un grado superiore a uno inferiore dell’equazione quando sia nota una radice e che possono darsi tante radici positive quante sono le variazioni di segno nel primo membro e tante negative quante volte i segni + e – si susseguono (regola dei segni di Cartesio). Dà pure alcune regole che riguardano l’eliminazione nell’equazione del secondo termine o la reintroduzione di un termine mancante. Posto ciò, affronta i problemi le cui soluzioni dipendono da equazioni di terzo grado e oltre; per questo, prima si sofferma sulla soluzione delle equazioni di terzo grado e subito dopo su quelle di quarto grado, che risolve riducendone il grado, o altrimenti applicando il metodo dei coefficienti indeterminati che gli consente di ridurre equazioni di quarto grado ad un prodotto di equazioni di secondo grado. A causa di una affrettata generalizzazione, Descartes fu indotto a pensare di aver trovato erroneamente la soluzione di equazioni superiori al quarto.

La Géométrie, pur essendo dedicata interamente alla interazione tra algebra e geometria, è ben lontana dalla geometria analitica in uso oggi. Descartes non fa un uso sistematico di coordinate ortogonali, ma spesso utilizza coordinate oblique; inoltre non fa uso di ascisse negative e non presenta nessuna curva tracciata direttamente a partire dalla sua equazione.

Descartes non fece molto per rendere leggibile l’opera ai suoi contemporanei, sia per la struttura scelta che per i simboli e i calcoli utilizzati; egli era talmente sicuro dell’efficacia del proprio metodo, da scrivere che non si sofferma a «spiegare minutamente» tutte le questioni, solo per lasciare ai posteri la soddisfazione di «apprenderle da sé». Continua poi scrivendo «Ed io spero che i nostri nipoti mi saranno grati, non solo delle cose che io ho spiegato, ma anche di quelle che volontariamente ho omesso, allo scopo di lasciar loro il piacere di inventarle». Si tratta di una oscurità voluta, perché legata ad impostazioni che si ritrovano in tutti gli scritti cartesiani, Discorso compreso; tuttavia questo non toglie a Descartes il grande merito di aver avvicinato due scienze, aritmetica (algebra) e geometria, che un’antica e solida tradizione, fondata su Aristotele, aveva sempre tenuto separate.

LE FORME GEOMETRICHE E I NUMERI

I numeri misurano, calcolano, esprimono il ca­rattere quantitativo delle cose, ma è difficile riconoscere loro una qualche caratteristica autonoma e trattarli come amici.

Alcuni numeri particolari, tuttavia, si staccano dal loro ruolo di quantità per farci conoscere qual­cosa degli oggetti – figure, forme, solidi… solitamente oggetti importanti per la nostra cultura – con i quali entrano in contatto.

È questo il caso, ad esempio, di √2, che ci dice qual è il rapporto fra la diagonale ed il lato di un quadrato e questo è vero per tutti i quadrati, come si capisce facilmente dal teorema di Pitagora. Oppure è il caso della base dei logaritmi naturali

e=2,71828182845904523536…

un numero che non ha una definizione proprio semplice e che, quasi magicamente, ci permette di descrivere in pratica tutte le leggi di accrescimento esponenziale.

È il caso anche del “numero aureo” Φ=(1+√5)/2 (la soluzione positiva dell’equazione x²-x-1=0) che, a partire dal mondo classico, esprime il rapporto ideale fra i lati di un rettangolo, nel senso di fornire il canone riconosciuto di bellezza per rapporti di questo tipo.

La sezione aurea nel Partenone – Foto di Eusebius modificata/Creative commons license.

 

È significativo che questo canone di bellezza intervenga in tutte le situazioni naturali di “simmetria dinamica”: nella forma di certe conchiglie, nelle spire con cui dispongono i semi di certi fiori, o le foglie di certi alberi, nella struttura delle corna dell’ariete, nella disposizione dei bracci di una galassia, nei percorsi dei falchi in volo che si avvicinano alla preda….

Simmetria dinamica [da sinistra: Conchiglia di Nautilus; Girasole; Ariete in bronzo; Galassia a spirale.

 

I matematici hanno formalizzato tutti questi processi con la “spirale logaritmica”, detta anche “spira mirabilis” per la sua forma, descritta per la prima volta ed ammirata per il suo aspetto esteriore da Cartesio.

Spirale logaritmica – spira mirabilis

 

Questo ruolo conoscitivo – sia del mondo naturale che di quello artificiale costruito dall’uomo o da quello creato dall’uomo con le sue teorie scientifiche – è assegnato in generale a tutte le cosiddette “costanti matematiche”.

Talvolta l’origine di queste costanti ha avuto un risvolto drammatico. Come nel caso di √2. A quanto racconta il mito, Ippaso da Metaponto, un seguace della scuola pitagorica, nel V secolo a.C. fu condannato severamente per aver rivelato che il rapporto fra diagonale e lato di un quadrato non si esprime razionalmente, cioè come rapporto di numeri interi. Un risultato che non era sicuramente semplice da trovare in quell’epoca ma che noi oggi, con il formalismo moderno, siamo in grado di dimostrare facilmente: se fosse √2=m/n (con m ed n interi) allora si avrebbe 2n²=m² e questo entra in contraddizione con il cosiddetto “Teorema fondamentale dell’aritmetica”, grazie al quale ogni numero intero si scompone in maniera unica come prodotto di fattori primi. In questo caso si capisce che, in 2n², il fattore primo 2 compare un numero dispari di volte mentre in m² (se compare) il fattore primo 2 non può che esserci un numero pari di volte. Come possono dunque essere uguali quei due numeri? Dove finirebbe l’unicità della scomposizione?

In questo caso, l’aspetto drammatico e la punizione inflitta al colpevole dipendono della forma di conoscenza racchiusa in √2 che era intollerabile per la cultura della scuola pitagorica: tutti gli oggetti, le quantità, le misure, i loro rapporti dovevano esprimersi attraverso i numeri interi.

Noi oggi sappiamo che questo non è vero, che nel mondo non è sempre così. Esistono numeri che non sono razionali  e per usarli è necessario ricorrere ad una loro approssimazione. Ad esempio, oltre a √2, la sezione aurea Φ o il numero e visti in precedenza o anche numeri dal carattere più “difficile”. Tuttavia oggi, anche se alcune “costanti matematiche” che compaiono nei nostri conti, richiedono molto lavoro per approfondire le loro proprietà o addirittura per “inventare” un ambiente numerico nel quale ha senso considerarle, non risultano certamente intollerabili per la nostra cultura. Per √2, Φ ed e si è introdotto il dominio dei numeri irrazionali, per un’altra costante famosa (i, caratterizzata da i² = -1) i matematici hanno dovuto inventare i numeri “immaginari” così detti perché, quando sono nati (alla fine del ‘500), si riconosceva il loro carattere artificiale, estraneo al sistema dei numeri che era noto fino ad allora.

Fra queste costanti, forse la più antica – visto che ne parla implicitamente perfino la Bibbia, seppure con una approssimazione molto grossolana – è senz’altro π che fornisce il rapporto di ogni circonferenza con il proprio diametro (e anche di ogni cerchio con il quadrato del raggio). Una costante che, per quanto se ne sa, non ha mai alimentato drammi ma domande e misteri sì. E molti. E nel tentativo di capire proprio i misteri di π, i matematici hanno sviluppato molta buona Matematica.

“Esplorare π è come esplorare l’universo”, dice David Chudnovsky, uno dei grandi “esploratori” in questo senso.

In effetti π si incontra dovunque in Matematica. Per capire questa sua presenza sistematica fin dai tempi più antichi, bisogna ricordare soprattutto che π ci parla della circonferenza e la circonferenza è una delle prime forme studiate dall’uomo, addirittura simbolo di perfezione perché capace di trasformarsi in se stessa, come la retta, e forse rappresenta la componente e il modello di molte forme geometriche.

Sappiamo, ad esempio, che la antica cosmologia tentava di descrivere il moto dei corpi celesti attraverso complicate combinazioni di moti circolari. Sappiamo che tutte le costruzioni geometriche dovevano essere condotte solo con l’uso di riga e compasso. Uno dei grandi problemi della Matematica classica era la “quadratura del cerchio”, vale a dire il problema di trovare, usando solo questi strumenti, il lato di un quadrato di area uguale a quella di un cerchio. Oggi sappiamo che questo problema non è risolubile, perché richiede la costruzione con riga e compasso di un segmento di lunghezza √π, mentre con questi strumenti si possono costruire solo segmenti la cui misura sia soluzione di un’equazione di secondo grado (o quarto, o ottavo, sedicesimo e così via). Ma √π non è di questo tipo, come è stato scoperto solo nel 1882: quanto lavoro intellettuale!

Quadratura del cerchio

 

Questa presenza sistematica e misteriosa di π – che cresce anziché diminuire nel tempo –  richiede rispetto, in riconoscimento della sua importanza. Ma, allo stesso tempo, nei confronti di π è in corso da secoli anche una sfida alla capacità di calcolo dell’uomo e delle sue macchine, come si capisce tenendo conto dei ripetuti ed insistenti tentativi per calcolare una quantità sempre maggiore di cifre decimali. Pensate che, con l’uso dei calcolatori più potenti, ne è stata trovata a tutt’oggi qualche decina di miliardi.

Questa ricerca ha senz’altro importanti ricadute sulle tecniche di calcolo, sulla tecnologia delle macchine e sullo studio delle possibili regolarità statistiche (che tuttavia finora non sono mai saltate fuori). Ma, secondo me, la motivazione principale che muove questi “cacciatori” di decimali di π è la sfida nelle capacità umane. Come quando si vuole superare un “record” sportivo, compiere un’impresa mai riuscita in precedenza, anche i matematici si pongono obiettivi ambiziosi che forse, per chi guarda solo con il metro del vantaggio immediato, possono sembrare inutili.

 

I misteri di π

Come hanno capito gli uomini che il rapporto fra circonferenza e diametro è una costante, uguale per tutte le circonferenze, e che è la stessa che lega il raggio del cerchio alla sua area? Si può pensare che, dopo calcoli pratici e in seguito ad osservazioni empiriche, si siano concettualmente convinti che questo è vero per estensione del fatto che vale per i poligoni regolari inscritti nella circonferenza, aumentando progressivamente il numero dei lati.

Il rapporto fra i perimetri dei poligoni regolari inscritti è uguale al rapporto dei raggi

 

Consideriamo due cerchi concentrici, con raggi r₁ e r₂ e, inscriviamo in essi due poligoni regolari con uguale numero di lati. È facile dimostrare che il rapporto fra la lunghezza dei lati (e di conseguenza fra i  perimetri P₁ eP₂ dei poligoni) è uguale al rapporto fra i raggi. Per avere questo risultato basta ricordare il teorema di Pitagora e il teorema di Talete sui fasci di rette parallele:

Un fascio di rette parallele taglia su due trasversali segmenti direttamente proporzionali:

Fascio di rette parallele

 

Ora si ricava subito che il rapporto fra perimetro e raggio è una costante:

Il perimetro di un poligono inscritto è una “approssimazione” della circonferenza C. È sempre minore di C e l’approssima sempre meglio quanto più è grande il numero dei lati: prendendo un poligono regolare con un numero di lati sempre maggiore ci si avvicina sempre meglio alla lunghezza della circonferenza.

Ha senso considerare che la circonferenza sia “un poligono regolare con infiniti lati”? In termini formali no. Ma intuitivamente questa è una buona immagine. Se poi si considera un argomento analogo con poligoni regolari circoscritti, il cui perimetro è sempre maggiore di C e si avvicina sempre più a C quanto più aumenta il numero di lati, non è difficile convincersi che C è l’unico valore che sia maggiore del perimetro di qualunque poligono regolare inscritto ed allo stesso tempo minore del perimetro di qualunque poligono regolare circoscritto. La conclusione che anche il rapporto fra la circonferenza C ed il raggio r (o il diametro 2r) sia costante, sempre lo stesso per tutti i cerchi è intuitivamente a portata di mano e i matematici hanno reso formalmente precisa questa dimostrazione con l’operazione di “passaggio al limite”.

Il rapporto con il diametro ha preso il nome di π (non da subito, solo dal ‘600):

C/2r = π

Ma quanto vale π ? Il primo calcolo accurato è attribuito ad Archimede di Siracusa (III secolo a.C.) che, come nella discussione precedente, considera progressivamente poligoni inscritti e circoscritti alla circonferenza di raggio 1 (e quindi semiperimetro π) con 6, poi 12, 24, 48 e infine 96 lati. In generale, con ragionamenti di tipo geometrico, riesce a esprimere come variano i semiperimetri di questi poligoni, che approssimano sempre meglio π, quando si raddoppia il numero dei lati.

 

Poligoni inscritti e circoscritti

 

Per l’esagono il semiperimetro interno vale p₁=3 e quello esterno P₁=2√3=3,46.. . Dunque, in prima approssimazione:

 3≤π≤3,46

Ma poi, raddoppiando il numero dei lati, ottiene:

e quindi la successiva approssimazione:

3,10≤π≤3,21

Applicando sempre la stessa formula per ogni successivo poligono inscritto e circoscritto, Archimede ottiene la migliore approssimazione con 96 lati:

3,1408…=223/71<π<22/7=3,(142857)

L’errore è solo nella terza cifra decimale: un millesimo. Complimenti!

Con un discorso simile a quello della circonferenza, si può dimostrare anche che π interviene nel rapporto fra area e quadrato del raggio. A questo scopo, approssimate ancora il cerchio con un poligono regolare inscritto e pensate di aumentare il numero dei lati. L’area del cerchio si approssima con una somma di triangoli isosceli: con un quadrato sono quattro triangoli rettangoli, con un ottagono sono otto triangoli aventi un angolo al vertice di 45^o, con un poligono di sedici lati….

Sviluppo dell’area

 

L’angolo al vertice è sempre più stretto e l’area del cerchio si avvicina sempre più a quella di un rettangolo che ha la circonferenza C = 2πr come base ed il raggio r come altezza. Ecco giustificata in termini intuitivi la formula dell’area S:

S = πr².

Al solito: questo fatto verrà completamente dimostrato con una operazione di  “passaggio al limite”. E allora, per concludere, un cenno di attenzione su questa che sembra risolvere magicamente tutte le situazioni.

Esercizio: prendete una semicirconferenza di raggio uguale ad 1. Sulla sua base costruite due circonferenze di raggio 1/2. Convincetevi  che la lunghezza complessiva del percorso appena disegnato è uguale alla semicirconferenza, cioè a π. Ora continuate con la stessa operazione e costruite quattro semicirconferenze di raggio 1/4: la lunghezza del percorso totale è ancora uguale a π. Via così, con circonferenze di raggio dimezzato ogni volta: è chiaro che il percorso complessivo è sempre uguale a π. Sì, ma questo percorso “tende” ad approssimare sempre più il diametro della circonferenza, che vale 2. E allora? Attenzione: non è tutt’oro quel che luccica e il passaggio al limite funziona solo nelle ipotesi giuste.

Questo non è un limite!

Il grande matematico John Nash

John Forbes Nash Jr. (Bluefield, 13 giugno 1928) è un matematico ed economista statunitense.

Tra i matematici più brillanti e originali del Novecento, Nash ha rivoluzionato l’economia con i suoi studi di matematica applicata alla “Teoria dei giochi“, vincendo il premio Nobel per l’economia nel 1994.

Nash è anche un geniale e raffinato matematico puro. Ha sempre avuto un’abilità poco comune nell’affrontare i problemi da un’ottica nuova e impensabile per gli altri, trovando soluzioni incredibilmente eleganti a problemi complessi, come quelli legati all’immersione delle varietà algebriche o alle equazioni differenziali paraboliche.

Indice [nascondi] 1 Il genio e la schizofrenia 2 Biografia 2.1 L’infanzia 2.2 Gli anni del liceo 2.3 Gli anni a Princeton 2.4 Gli anni seguenti e i primi sintomi della schizofrenia 2.5 I ricoveri e la guarigione 3 Teoria economica 4 Film 4.1 A Beautiful Mind 4.2 Proof 5 Note 6 Bibliografia 7 Voci correlate 8 Altri progetti 9 Collegamenti esterni

Il genio e la schizofrenia [modifica]

Nash ha vissuto per circa trenta anni tra i successi scientifici ed accademici e la malattia mentale. Durante la brillante attività scientifica in istituti universitari prestigiosi (come quello di Princeton) oppure in società come la RAND Corporation, dove insieme a logici, matematici, fisici e ingegneri esperti di teoria dei giochi, lavorò per il governo alle strategie politiche e militari della guerra fredda. Dovette convivere con la schizofrenia che spesso e per lunghi periodi nell’arco di trent’anni ne offuscò l’intelligenza e la creatività isolandolo emotivamente dal mondo esterno.

Dopo i periodi di crisi, spesso successivi ai ricoveri in ospedali psichiatrici, Nash tornava a fare matematica. Ma pochi mesi dopo la malattia si riacutizzava. Terapie come elettroshock, insulinoshock, con conseguente attacco epilettico e coma, camicie di forza chimiche, lo hanno segnato nel fisico, ma oggi Nash sembra riuscire a convivere con questa malattia poiché è impossibile la guarigione.

Biografia [modifica]

L’infanzia [modifica]

Il padre, che si chiamava con lo stesso nome, era nativo del Texas ed ebbe un’infanzia infelice, riscattata solo dagli studi in ingegneria elettrica che lo portarono a lavorare per l’Appalachian Power Company di Bluefield, nella Virginia Occidentale. La madre, invece, Margaret Virginia Martin, prima si sposò poi intraprese la carriera di insegnante di inglese e qualche volta di latino. John Forbes Nash jr. già da piccolo rivela un carattere solitario e bizzarro.

Anche la sua frequentazione scolastica presenta numerosi problemi. Alcune testimonianze di chi lo ha conosciuto lo descrivono come un ragazzo piccolo e singolare, solitario ed introverso. Sembrava inoltre avere più interesse per i libri piuttosto che alla condivisione delle ore di gioco con altri bambini.

Il clima familiare, tuttavia, era sostanzialmente sereno, con genitori che certo non mancavano di dimostrargli il loro affetto. Dopo qualche anno nascerà anche una bambina, Martha. Ed è proprio grazie alla sorella che John riesce ad integrarsi un po’ di più con gli altri coetanei, riuscendo anche a farsi coinvolgere nei giochi usuali dell’infanzia. Tuttavia, mentre gli altri tendono a giocare insieme, John spesso e volentieri preferisce rimanere per suo conto. Il padre, poi, lo tratta come un adulto, fornendogli in continuazione libri di scienza e stimoli intellettuali di tutti i tipi.

Anche la situazione scolastica non è rosea, perlomeno inizialmente. Gli insegnanti non si accorgono affatto del suo genio e dei suoi talenti straordinari. Anzi, la sua mancanza di “abilità sociali” lo mette in cattiva luce nei confronti di colleghi e corpo docente. Nash era probabilmente annoiato dalla scuola, un caso non raro, visto che Albert Einstein era altrettanto insofferente verso le tradizionali istituzioni scolastiche.

Gli anni del liceo [modifica]

Al liceo, invece, la sua superiorità intellettuale rispetto ai compagni gli serve soprattutto per ottenere considerazione e rispetto. Ottiene anche una prestigiosa borsa di studio, grazie ad un lavoro di chimica in cui vi era però anche lo zampino del padre. Si reca allora a Pittsburgh, alla Carnegie Mellon, per studiare proprio chimica. Con il passare del tempo, però, il suo interesse per la matematica va aumentando sempre di più. In questo campo mostra delle abilità eccezionali, specialmente nella soluzione di problemi complessi. Con gli amici, invece, si comporta in modo sempre più eccentrico. Di fatto, non riesce ad instaurare rapporti di amicizia né con donne né con uomini.

Partecipa alla Putnam Mathematical Competition, un premio molto ambito, ma non vince: sarà questa una delusione cocente, di cui parlerà anche dopo vari anni. In ogni caso si mostra subito un matematico di primo ordine, tanto da ottenere offerte dalla Harvard e Princeton per fare un dottorato in matematica. Sceglie Princeton, dove avrà modo di conoscere, fra gli altri, giganti della scienza come Einstein e Von Neumann. Nella lettera di presentazione a Princeton che Nash porta, vi è solo una frase, scritta dal rettore: “Quest’uomo è un genio.”

Gli anni a Princeton [modifica]

Nash ha avuto subito grandi aspirazioni in campo matematico. Durante i suoi anni di insegnamento a Princeton, soprattutto, Nash ha mostrato una vasta gamma di interessi nella matematica pura ed applicata: dalla topologia, alla geometria algebrica, dalla teoria dei giochi alla logica. Oltretutto non è mai stato interessato a dedicarsi ad una teoria, a svilupparla, ad intessere rapporti con altri specialisti, eventualmente a fondare una scuola. Desiderava invece risolvere un problema con le sue forze e i suoi strumenti concettuali, cercando l’approccio più originale possibile alla questione.

Nel 1949, mentre studiava per il suo dottorato, sviluppò delle considerazioni che 45 anni più tardi gli valsero il premio Nobel. Durante quel periodo Nash stabilì i principi matematici della teoria dei giochi. Un suo collega, Ordeshook, ha scritto:

« Il concetto di “Equilibrio di Nash” è sicuramente l’idea più importante nella teoria dei giochi, per quel che riguarda i giochi non cooperativi. Se analizziamo le strategie di elezione dei candidati, le cause della guerra, la manipolazione degli ordini del giorno nelle legislature, o le azioni delle lobby, le previsioni circa gli eventi si riducono ad una ricerca di o ad una descrizione degli equilibri. Detto in altri termini e banalizzando, le strategie di equilibrio sono tentativi di predizione circa il comportamento della gente. »

Gli anni seguenti e i primi sintomi della schizofrenia [modifica]

Intanto comincia ad avere i primi segni di malattia. Conosce anche una donna, di 5 anni più anziana di lui, che gli dà un figlio. Nash non vuole aiutare la madre economicamente, non riconosce il figlio, anche se si occuperà di lui per tutta la vita, sia pure saltuariamente. Continua la sua vita piuttosto complicata ed errabonda. Incontra un’altra donna, Alicia Lerde, meglio nota poi come Alicia Nash, che diventerà sua moglie. In questo periodo visita anche il Courant Institute, dove incontra Louis Nirenberg, che lo introduce ad alcune problematiche delle equazioni differenziali alle derivate parziali. In questo campo ottiene un risultato straordinario, uno di quelli che potrebbero valere la medaglia Fields, e che è legato ad uno dei famosi problemi di Hilbert. Tuttavia il matematico Ennio De Giorgi, di cui Nash ignorava i risultati, aveva già risolto lo stesso problema pochi mesi prima in maniera indipendente. Al conferimento del Nobel, lo stesso Nash dichiarerà che: “fu De Giorgi il primo a raggiungere la vetta”. Comincia nel frattempo ad occuparsi delle contraddizioni della meccanica quantistica e anni dopo confesserà che probabilmente l’impegno che mise a questa impresa fu causa dei suoi primi disturbi mentali.

I ricoveri e la guarigione [modifica]

Cominciano i ricoveri, e comincia anche un periodo lunghissimo della sua vita in cui alterna momenti di lucidità, in cui riesce comunque a lavorare, raggiungendo anche risultati assai significativi (ma non del livello dei suoi precedenti), ad altri in cui le condizioni di salute mentale sembrano seriamente deteriorate. I deliri più ricorrenti riguardano le visioni di messaggi criptati (provenienti anche da extraterrestri), il credere di essere l’imperatore dell’Antartide o il piede sinistro di Dio, l’essere a capo di un governo universale. Ad ogni modo, fra alti e bassi, conduce la sua vita al fianco della moglie che lo sostiene in tutti i modi e con grandissimi sacrifici. Finalmente, dopo lunghi travagli, all’inizio degli anni novanta, le crisi sembrano avere fine. Nash può tornare quindi al suo lavoro con maggiore serenità, integrandosi sempre di più nel sistema accademico internazionale e imparando a dialogare e a scambiare idee con altri colleghi (caratteristica prima, d’altronde, dell’impresa scientifica). Il simbolo di questa rinascita è contrassegnato nel 1994 con il conferimento del premio Nobel per l’economia. Il 19 marzo 2003 gli è stata conferita la laurea “honoris causa” in Economia e Commercio da parte dell’Università Federico II di Napoli.

Nel 2003 ha ricevuto il Premio Capo d’Orlando.

Teoria economica [modifica]

Da un punto di vista economico, e soprattutto monetario, Nash si è fortemente discostato dal pensiero cosiddetto mainstream, per sostenere alcune tesi della scuola austriaca, in particolare di Friedrich von Hayek (soprattutto per quanto riguarda gli argomenti contenuti in Denationalization of Money: The Argument Refined, del 1976). Lo stesso Nash ha più volte ammesso di essere stato influenzato dall’economista austriaco^[1][2][3].

il sistema bortolato

Camillo Bortolato – Nuovo metodo e nuovi strumenti per l’apprendimento matematico. Il metodo analogico	Stampa
Erickson

L’intervista a… CAMILLO BORTOLATO* L’immagine dimostrativa del metodo analogico in cui si vedono gli alunni all’opera in una classe. E’ in divulgazione da alcuni anni in molte scuole elementari un nuovo sistema di apprendimento della matematica definito “metodo analogico” basato sull’impiego di strumenti. In questa intervista l’autore Camillo Bortolato spiega i presupposti teorici e le ricadute positive anche per quanto riguarda il problema della discalculia e le difficoltà di apprendimento in generale. Di che cosa si tratta? Si tratta di una metodo in grado di conseguire risultati straordinari rispetto alla norma, in base all’utilizzo di strumenti e al supporto di una teoria dell’apprendimento matematico fondata sul “calcolo mentale senza numeri” come campo privilegiato di intervento .Da dove nasce questa proposta? Nasce dal bisogno di adeguare la didattica della matematica alle ultime acquisizioni della ricerca in fatto di innatismo e genialità dei bambini. Nel caso della discalculia rappresenta una soluzione alla cronica carenza di strumenti nelle fasi di intervento post-diagnostico. Su quali aspetti si fonda questa proposta? Si fonda sulla qualità di determinati strumenti di simulare i procedimenti mentali del calcolo in modo da trasferire la comprensione, dalla elaborazione logico-concettuale, al canale recettivo delle simulazioni analogiche-intuitive, come quando un bambino impara ad usare il computer o una lingua osservando come fanno gli altri, senza ricevere preventivamente delle spiegazioni. Cos’è il metodo analogico? Per fare un parallelo ancora con il computer è il trasferimento dell’apprendimento dalla modalità in ” dos” alla modalità in ” window”. Cambia l’interfaccia e tutto diventa più facile e spontaneo perché scompare il problema della decodificazione e fa il suo ingresso il linguaggio delle icone. In fatto di numeri, scompaiono i simboli cifrati e compaiono finalmente le immagini, le vere immagini delle quantità, formattate alle regole del “subitizing” temporale e spaziale. Come è possibile descrivere nel merito questa nuova didattica? Oltre che da strumenti il metodo si compendia di testi operativi, alcuni dei quali pubblicati dalle edizioni Erickson , “Calcolare con la mente” “La linea del numeri”, “Problemi per immagini” ecc. nei quali il percorso operativo è descritto e accompagnato dalle dovute giustificazioni teoriche per l’insegnante mentre per l’alunno ovviamente sono escluse le spiegazioni verbali. E’ disponibile anche un video? Coerentemente con la scelta di presentare direttamente le cose senza filtri descrittivi, il mezzo più consigliato per comprendere questa nuova didattica , è la visone del video-film : “Strumenti di metodo analogico “(45 minuti) in cui si vedono i bambini in una classe prima elementare conseguire in poche lezioni competenze di calcolo mentale entro il mille, in base al principio secondo il quale contare per 1, per 10, per 100 sono la stessa cosa, analogicamente parlando. Il video permette inoltre di rilevare la variabile tempo, condizione fondamentale nell?interazione insegnante alunno. Questa considerazione di tempi e di obiettivi è nuova rispetto alle consuetudini didattiche? Infatti. Il dato più evidente è proprio la velocità con cui i bambini comprendono come se conoscessero già la materia, infatti non c’è sforzo nei soggetti, ma caso mai uno stato di rilassamento vigile. La comprensione come afferma Batterworth si dispiega come un ampliamento della percezione interiore , poiché tutto nasce da dentro ed è in collegamento con i meccanismi naturale del computo istintivo . Cosa si intende per computo istintivo? Significa che tutte queste competenze non appartengono ancora alla sfera disciplinare, nel senso che non utilizzano un codice sintattico. Butterworth afferma che non possiamo vedere delle mucche nel prato senza avvertire che, oltre che bianche e rosse, sono tre. Allo stesso modo, diciamo noi, potremmo riconoscere istantaneamente che sono 320 se fossero disposte secondo un ordine prestabilito in modo da formare un’immagine familiare. La caratteristica del metodo è l’immediatezza del riconoscimento poiché la nostra mente può operare solo in queste condizioni.. Che cosa significa calcolo mentale senza numeri? Significa che le strategie del calcolo mentale dei bambini di oggi sono le stesse impiegate dai loro coetanei prima che il nostro sistema notazionale entrasse in funzione. Non dipendono dalla scrittura dei numeri: per questo i bambini prima della scuola hanno una capacità orale di computo e sono attratti dalle grandi quantità. Per capirlo meglio bisognerebbe approfondire i cambiamenti dovuti all?introduzione dei nostri numeri .Cosa è cambiato? Nulla a livello di calcolo mentale. Le novità si sono verificate a livello di calcolo scritto introducendo tutto il capitolo delle procedure del calcolo scritto scomposto e graduato e quindi essenzialmente cieco fino alla lettura del risultato finale . Dunque nel calcolo mentale non ci interessano i numeri? Non ci interessano i numeri scritti. Nel vero calcolo mentale ci disinteressiamo di tutto ciò che concerne la scrittura dei numeri. Al più utilizziamo le cifre come delle etichette senza bisogno di giustificazione da incollare sul vecchio sistema rappresentativo decimale latino con gli stessi nomi. Il sistema posizionale con l’uso dello zero è al contrario la rinuncia alla visualizzazione decimale : siamo costantemente alla rincorsa di una decimalità che non può essere raggiunta. Quali conseguenze ha nella scuola questa impostazione? L’errore più grande della attuale didattica è di occuparsi anzitempo dell’aspetto disciplinare del numero: decine, unità, cambio valore posizionale, significato dello zero , ecc. come se la comprensione sintattica potesse portare ad una comprensione sul piano semantico. Ma è una transcodificazione in senso errato: sarebbe come trasformare il pane già cotto in farina. Questa didattica che definiamo “concettuale” è alla continua ricerca del significato. E’ perdente. Cosa pensa dei regoli colorati? I regoli colorati hanno rappresentato un aiuto alla visualizzazione , ma un rallentamento per quanto riguarda il calcolo troppo lento e macchinoso. C’è bisogno di uno strumento più potente per riuscire a rappresentare la complessità del calcolo, durante il quale la nostra mente che non può utilizzare il conteggio a livello mentale, se non fino a tre oggetti, è costretta a eseguire nel tempo di qualche secondo operazioni di traslazione , scomposizione, ribaltamento, numerazioni originali temporanee e finali, per cercare una soluzione di ripiego. Solo un computer può rappresentare queste operazioni. Lo strumento che noi proponiamo è un computer analogico e si chiama “Linea del 20” Che cos’è la Linea del 20? La Linea del 20 (simulatore delle mani) è una linea dei numeri composta di 20 tasti mobili suddivisi in cinquine come le dita delle nostre mani, e ogni dito o tasto che sia, essendo mobile è equiparabile a un bit con il doppio significato ON OFF a seconda che sia aperto o chiuso. Con questi 20 bit è possibile comporre migliaia di combinazioni visive che sono le vere immagini dei numeri , per cui non abbiamo un solo numero 7 come nei regoli colorati, ma una multiformità sia in senso ordinale che cardinale, che possono scorrere avanti e indietro sulla tastiera.. A quale funzione è destinata la Linea del 20? È uno strumento che consente di eseguire immediatamente operazioni di addizioni e sottrazioni e di imparare i numeri cominciando direttamente dalla quantità 20. E? come dare in mano tutta la tastiera del computer al bambino anziché un tasto alla volta. Ci vuole un po’ di coraggio. E non c’è bisogno di una consapevolezza esplicitata di ciò che si apprende perché è lo strumento che istruisce e programma la mente del bambino. Quindi non c’è riflessione? La nostra mente opera con diverso grado di intenzionalità e consapevolezza sulle quantità come una attività di ritaglio e incollaggio di immagini . Nell’operazione 12 – 9 = taglia la quantità 9 togliendola dalla parte iniziale della linea dei numeri per evitare un più dispendioso conteggio temporaneo a ritroso dalla fine. Si tratta di strategie intuitive legate al modo abituale di processare le immagini. Come può l?insegnante spiegare queste strategie agli alunni senza parlare? L’insegnante ha a disposizione la Linea del 20 “maxi” ( versione gigante di classe ) per le dimostrazioni collettive guidate , mentre ogni alunno ripete l’esercizio con strumento in versione “mini”. Il video è sufficiente per capire come. Quello che si può costatare è che per la maggioranza degli alunni la comprensione globale avviene già alla prima dimostrazione. Come viene considerato il problema della discalculia? In letteratura la questione ricorrente è come dare rappresentazione mentale al numero, mentre nel metodo analogico questo problema non esiste proprio perché queste rappresentazioni della numerosità vengono fornite come punto di partenza. I numeri intesi come codice sintattico sono il punto di vista capovolto per affrontare correttamente il problema dei numeri; ed è preferibile, per i soggetti che hanno difficoltà incontrarli il meno possibile. Vi è una preclusione per i simboli numerici che è analoga a quella della dislessia per le lettere. Inoltre si intrecciano altri problemi riguardanti la percezione spaziale dei numeri , causata da una errata formulazione della linea dei numeri. In che cosa consistono questi problemi spaziali? Molti soggetti anche adulti hanno difficoltà nella strutturazione spaziale perché confondono il confine destro e sinistro dei numeri. Ciò dipende dal fatto che presentiamo loro per i compiti di calcolo una linea dei numeri scorretta dal punto di vista psicologico a causa della presenza dello zero iniziale che rende astratte le successive rappresentazioni , capovolgendo così il pieno con il vuoto. Ogni unità in questa linea dei numeri “concettuale” diventa uno spazio tra due punti e non un punto tra due spazi come dovrebbe essere. La questione fondamentale della dominanza del disciplinare sul psicologico è spiegata nei testi “La linea dei numeri” e “Calcolare a mente”. Questa spiegazione risulta alquanto innovativa? Per il nostro ragionamento matematico abituato a concepire la quantità come una variabile indipendente dalla qualità e dalla posizione degli oggetti, è difficile cogliere il dato psicologico. Nei compiti calcolo in cui abbiamo bisogno di definire le immagini fino al dettaglio di ogni singola unità, abbiamo bisogno di riferimenti posizionali e qualitativi. E perciò conta la quantità quanto la qualità, lo spazio pieno quanto lo spazio vuoto. Conta soprattutto il significato posizionale nel senso più generalizzato del temine.Lo possiamo costatare nell?uso di window in cui non facciamo altro che cercare, spostare trascinare, inserire , invece di decifrare. Quale futuro assegna a questa nuova didattica? Questi strumenti rappresentano una applicazione consequenziale delle nuove teorie della mente . Quello che si auspica è che vengano sempre più accolti come un contributo al miglioramento della didattica in questa fase di grande urgenza.

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